Volume de um sólido sob um plano qualquer – Equação do plano

Primeiramente devemos encontrar a equação do plano.

Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor que seja normal ao plano.

Esse plano tem equação da forma A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, onde um vetor v = Ai + Bj + Ck é normal ao plano Ax + By + Cz = D.

 Podemos dizer também que esse plano tem equação da forma: ax +by +cz + d =0, onde a, b e c são as componentes do vetor normal a esse plano.

Identificando esses pontos, como:

A(2,1,1) , B(3,-1,1) e C(4,1,-1)

Vamos calcular os vetores AB e AC:

AB = B - A = (3,-1,1) - (2,1,1) = (1,-2,0)

AC = C - A = (4,1,-1) - (2,1,1) = (2, 0,-2)

Esses dois vetores pertencem ao plano. Então um vetor que é normal ao plano é o resultado do produto vetorial de AB e AC:

Como a equação do plano tem forma: ax +by +cz + d =0, então ficará na forma:

4x + 2y + 4z + d = 0

Para encontrar o termo independente d. Para isso, basta substituir um dos pontos dados e resolver a equação. Usando o ponto C, teremos:

Substituindo C(4,1,-1)

4(x - 4) + 2(y - 1) + 4(z + 1) = 0

4x - 16 + 2y - 2 + 4z + 4 = 0

4x + 2y + 4z - 14 = 0

ou

16 + 2 - 4 + d = 0

d = -14

4x + 2y + 4z -14 = 0

Que pode ser melhorada na seguinte conformidade.

Observação: Note que o grau 1 para todas variáveis, o que acarreta em plano e que para calcular o d, poderia ser escolhido qualquer outro ponto dado. Você sempre vai encontrar d = -14.

Vimos no exemplo que antecede este, no plano que passa pelos pontos A(0, 0, 4) e B( 4, 0, 6)