De maneira geral, se A
não é um subconjunto de B significa
que existe pelo menos um elemento de A
que não pertence a B.
Existe um conjunto especial chamado de vazio (denotado
∅)
que não possui nenhum elemento, ou seja, não existe x tal
que x ∈ ∅. Uma propriedade
interessante do conjunto vazio é que ele é subconjunto de qualquer conjunto. Vejamos
isto mais precisamente. Suponhamos que exista um conjunto A tal
que ∅ não
seja subconjunto de A. Pelo que vimos anteriormente, isto significa que
existe algum elemento x ∈ ∅ tal
que x esta contido em A. Mas,
por definição de vazio, não podemos ter x
∈ ∅ .Esta
contradição nos obriga a concluir que ∅ está contido em A
pois, senão, chegaríamos a uma conclusão
absurda.
Acabamos de mostrar que ∅ esta contido em A
usando um argumento do tipo “demonstração por
absurdo”.
Neste tipo de argumento supomos inicialmente que a conclusão desejada seja
falsa e, a partir desta hipótese, chegamos a um absurdo. Desta forma, somos
obrigados a admitir que a suposição é falsa e, portanto, que a conclusão
desejada é verdadeira.
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