Diagonais de um polígono e Diagonais de um poliedro

Polígonos e poliedros

Diagonais de um polígono

Chamando d = diagonal e n = lados, pode ser encontrada por:

Note que uma diagonal liga dois vértices e que os segmentos AF, AB e AA(segmento nulo), não são diagonais.

Ângulo interno de um polígono

Soma dos ângulos internos de um polígono

 S_i= (n - 2). 180°

Poliedros

Ângulo poliédrico

É a porção do espaço cuja superfície é a reunião dos ângulos das faces possuem o mesmo vértice.

Número de Arestas

Onde nf é número de faces e tf é tipo de face;

E na =   número de ângulo poliédrico e ta tipo de ângulo

Se mais de um tipo de face, encontra-se pela semi-média das faces e os respectivos tipos de faces

É muito útil neste estudo a fórmula de Euler em que:

V - A + F = 2

Esta fórmula na verdade é de Descartes.

Soma dos ângulos de um poliedro = (V - 2).360°

Exemplo:

1) Uma bola de futebol é formada por 20 faces hexagonais e 12 faces pentagonais, todas com lados congruentes. Qual o n° de arestas desta bola?

2) Um poliedro é constituído por 5 ângulos tetraédricos e 2 ângulos pentaédricos. Quantas arestas possui este poliedro?

Diagonais de um poliedro

D = C_v,2 - n. d₁ - n d₂ - n... - n. A

Onde C_v,2 é a combinação de todas arestas que saem de todos os vértices

n. d é o produto do número de um determinado polígono pelas suas diagonais.

n. A é o numero de arestas do poliedro.

Exemplos:

1) Quantas são as diagonais de um cubo?

2) quantas são as diagonais de um dodecaedro regular?

D = C_v,2 - n. d₁ - n d₂ - n...- n. A

D = C_20,2 - 12. 5 - 30

D = 190 - 60- 30 =100

3) quantas são as diagonais de um decaedro formado por triângulos?

D = C_v,2 - n. d₁ - n d₂ - n... - n. A

d_triangulo=0