Circunferência trigonométrico e os arcos notáveis

Na matemática elementar é de grande utilidade o conhecimento dos arcos notáveis (30°, 45º e 60°) e seus correspondentes, como segue:

O eixo vertical é o eixo dos senos e o eixo horizontal é o eixo dos co-senos.

 Todos os valores nos quatro quadrantes, são derivados dos valores no primeiro quadrante, assim se desejamos encontrar um valor qualquer, basta posteriormente verificar o sinal, se é positivo ou negativo.

De 0° a 90° é o primeiro quadrante e os demais 2°, 3° e 4° quadrante respectivamente.

É de grande valia a seguinte visão:

Volume de um sólido sob um plano qualquer – Equação do plano

Primeiramente devemos encontrar a equação do plano.

Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor que seja normal ao plano.

Esse plano tem equação da forma A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, onde um vetor v = Ai + Bj + Ck é normal ao plano Ax + By + Cz = D.

 Podemos dizer também que esse plano tem equação da forma: ax +by +cz + d =0, onde a, b e c são as componentes do vetor normal a esse plano.

Identificando esses pontos, como:

A(2,1,1) , B(3,-1,1) e C(4,1,-1)

Vamos calcular os vetores AB e AC:

AB = B - A = (3,-1,1) - (2,1,1) = (1,-2,0)

AC = C - A = (4,1,-1) - (2,1,1) = (2, 0,-2)

Esses dois vetores pertencem ao plano. Então um vetor que é normal ao plano é o resultado do produto vetorial de AB e AC:

Como a equação do plano tem forma: ax +by +cz + d =0, então ficará na forma:

4x + 2y + 4z + d = 0

Para encontrar o termo independente d. Para isso, basta substituir um dos pontos dados e resolver a equação. Usando o ponto C, teremos:

Substituindo C(4,1,-1)

4(x - 4) + 2(y - 1) + 4(z + 1) = 0

4x - 16 + 2y - 2 + 4z + 4 = 0

4x + 2y + 4z - 14 = 0

ou

16 + 2 - 4 + d = 0

d = -14

4x + 2y + 4z -14 = 0

Que pode ser melhorada na seguinte conformidade.

Observação: Note que o grau 1 para todas variáveis, o que acarreta em plano e que para calcular o d, poderia ser escolhido qualquer outro ponto dado. Você sempre vai encontrar d = -14.

Vimos no exemplo que antecede este, no plano que passa pelos pontos A(0, 0, 4) e B( 4, 0, 6)

Paradoxos

Paradoxos

É uma palavra usada para significar uma contradição apenas aparente, que pode ser resolvida. Mas às vezes tem o significado de uma contradição verdadeira e insolúvel, e é nesse último sentido que a empregamos aqui.

Os paradoxos surgem porque o universo do discurso é muito amplo e acaba abarcando essas contradições. O próprio conceito de conjunto, segundo Cantor (Georg), foi originariamente concebido de maneira muito livre e acabou levando o próprio Cantor a um paradoxo insuperável.

Veja este exemplo, mostrando a que nos leva o uso muito livre da linguagem: Um rei mandou dizer a um condenado que ele morreria na fogueira se as últimas palavras do condenado encerrassem uma verdade; E morreria na forca se falasse uma falsidade.

O condenado disse: “Vou morrer na forca”

Em conseqüência, o rei não pode executá-lo, nem na fogueira (se não o condenado teria dito uma falsidade), nem na forca (se não o condenado teria falado uma verdade). Esse impasse, simplesmente por que a decisão final depende algo fluido, aquilo que o condenado ainda vai falar. Isso não pode ser permitido; O Universo do discurso tem de ser devidamente restrito para não abrigar possíveis contradições ou impasses.

O paradoxo de Cantor

Aceitando a definição dada por Cantor, podemos conceber o conjunto U de todos os conjuntos. Esse conjunto U seria, por assim dizer, o conjunto universal, portanto, teria potencia máxima, já que reuniria todos os conjuntos possíveis de consideração. Em particular, ele teria de ser um elemento de si mesmo, neste caso, se considerarmos o conjunto das partes de U, P(U), somos levados, pelo próprio teorema de Cantor a concluir que P(U) > U. Ora, isto, contradiz a suposição inicial de que existe um conjunto Universal U, ou conjunto de todos os conjuntos.

Área de um círculo

Área de um circulo

Math Type - Atalhos no teclado

       O Math Type é uma poderosa ferramenta para a escrita simples de matemática e não se faz necessário dedicação por muito tempo ao uso desta facilidade, de forma que qualquer pessoa pode digitar um trabalho ou uma avaliação nos primeiros instantes de contato com ele.

           Aqui, alguns atalhos que ao meu ver dinamizam a utilização.

Consulte um Especialista e melhore suas notas e seja aprovado em Matemática

Melhore suas notas e eleve sua capacidade em abstrair, generalizar, modelar e calcular com Especialista em Matemática.

Aulas Particulares de Matemática em:

Ensino Fundamental

Ensino Médio

Superior

Cálculo diferencial e integral

Limites, derivadas, integrais, derivada direcional e outros.

Zona Leste de São Paulo e Santo André.

Contato: joao.f.leite@hotmail.com

joaofleite@gmail.com

Correção da prova de Matemática de Professor de Educação Básica II 2011 SP 51 a 80

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Agradeço a divulgação pelos amigos da Uniesp - São Mateus

Correção da prova de Matemática de Professor de Educação Básica II 2011 SP

Aqui, apenas as questões de 21 a 50.
Embora muuitas questões sejam elementares, considero uma avaliação de bom nível, principalmente referindo-se ao tempo para resolução.
Obtenha a prova em: http://www.vunesp.com.br/seed1102/prova_18.pdf
Obtenha gabarito em: http://www.vunesp.com.br/seed1102/gab_1_11.pdf

Tentaremos resolver as demais numa próxima oportunidade.
Escreva-nos.