Conjunto e elementos

A noção intuitiva que se tem da palavra conjunto nos é satisfatória e uma apresentação rigorosa da Teoria dos Conjuntos é difícil e além dos objetivos deste trabalho.

Definição 1

Um conjunto é constituído de objetos chamados elementos. Usamos a notação x ∈ A (lê-se x pertence a A) para dizer que x é um elemento do conjunto A. Se x não é um elemento de A, então escrevemos x não pertence A (lê-se x não pertence a A).

Uma forma de caracterizar um conjunto é através da lista dos seus elementos, escrevendo-os separados por vírgulas,  “,” no interior de duas chaves “{” e “}”.

Definição 2

Dizemos que A é um subconjunto de B ou que A é uma parte de B, ou ainda, que A está contido em B e escrevemos A está contido em B se todo elemento de A pertence a B. Dizemos também que B contém A e escrevemos B ⊃ A. Quando A ⊂ B e B ⊂ A, os conjuntos A e B são ditos iguais e escrevemos A = B. Caso contrário eles são diferentes e escrevemos A≠B. 

O conjunto Vazio

De maneira geral, se A não é um subconjunto de B significa que existe pelo menos um elemento de A que não pertence a B.

Existe um conjunto especial chamado de vazio (denotado ∅) que não possui nenhum elemento, ou seja, não existe x tal que x ∈ ∅. Uma propriedade interessante do conjunto vazio é que ele é subconjunto de qualquer conjunto. Vejamos isto mais precisamente. Suponhamos que exista um conjunto A tal que ∅ não seja subconjunto de A. Pelo que vimos anteriormente, isto significa que existe algum elemento x ∈ ∅ tal que x esta contido em A. Mas, por definição de vazio, não podemos ter x ∈ ∅ .Esta contradição nos obriga a concluir que ∅ está contido em A pois, senão, chegaríamos a uma conclusão absurda.

Acabamos de mostrar que ∅ esta contido em A usando um argumento do tipo “demonstração por absurdo”. Neste tipo de argumento supomos inicialmente que a conclusão desejada seja falsa e, a partir desta hipótese, chegamos a um absurdo. Desta forma, somos obrigados a admitir que a suposição é falsa e, portanto, que a conclusão desejada é verdadeira.

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Aulas Particulares

Quero pedir descuplas a todos, por estar com muitos compromissos neste últimos dias, e não poder atender os interessados em aulas.
Mantenho o contato, para futuras oportunidades e ainda continuar publicando assuntos que tenho e que os amigos mostram interesse.

Operando em com outras bases

Operando em outras bases

Com prática as operações de adição e multiplicação tornam-se mais simples em sistemas de bases menores que 10.

Com tudo a representação de um número em base pequena  é muito extensa; Todavia os computadores, como são rápidos, não encontram problemas em operar com base pequenas como a base 2, mas operam também em bases maiores, como a base hexadecimal (16)

Base 2

Basta decompor o número, tendo 2 como base e a escrita será seus coeficientes do maior ao menor expoente.

Exemplo:

a) Escreva 25 na base dois

25 = 1. 2⁴ + 1. 2³ + 0. 2² + 0. 2¹ + 1. 2⁰

25 = 1. 16 + 1.8 + 1

25 = 11001₂

Ou podemos fazer:

Escrevemos do último quociente para o primeiro resto

25 = 11001₂

b) Escrever 10111₂ na base 10

1.2⁴ + 0. 2³ +1.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ = 23

Base 60

Usada principalmente para ângulos e tempo.

Aqui, apenas a adições algébricas:

a) 12°40’35” + 6°30’40”

Note que nas unidades temos base dez, ou seja, chegamos até nove, mas em todas as dezenas temos como limite superior 6.

b) 10°25’52” + 12°42’15”

c) 12°32’25” – 6°25’52”

Na subtração os acréscimos das unidades devemos somar sempre 6 ao invés de 10, por esta razão, na insuficiência de 2 nas dezenas de segundos somamos 6, o que tornou a unidade de minutos em 1.

Na calculadora científica (simples) a cada grupo (graus, minutos ou segundos, selecionamos a tecla _°,,, e efetuamos os cálculos normalmente, inclusive multiplicação e divisão que possuem sentido apenas matemático.

Tratamos da mesma forma com tempo

Outras bases

No caso da simbologia da base hexadecimal são usadas algumas letras, isso ocorre porque temos símbolos para representar somente os algarismos de 0 a 9, como na base 16 é necessária a representação de algarismos de 10 a 15 então as letras de A até F são utilizadas para isso resultando na seqüência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Exemplos

a) Escreva 10111₅ na base 10

5⁴ + 5² + 5 + 1 = 625 + 25 + 5 + 1 = 656

 

b) Escrever 2008 na base 16

2008 = 8. 16² + 7 = 807

 

c) Escrever 1379 na base 16

1379 = 5. 16² + 6. 16 + 3 . 16⁰ = 563

 

Obs: escrevemos o expoente zero somente para ilustração.

Solução geométrica de um sistema

A solução de um sistema linear com até três variáveis pode ser obtido geometricamente, no ponto de intersecção das retas ou dos planos, se o sistema é compatível e determinado, bem como se é indeterminado ou inconsistente, como os exemplos que seguem:

Note aqui que não há ponto em comum às retas, portanto trata-se de um sistema inconsistente.

Nos exemplos que seguem, o graphmática não possui mais recursos para apresentação gráfica.

Evidentemente, não existem representação gráfica para número maior que três variáveis.

Circunferência trigonométrico e os arcos notáveis

Na matemática elementar é de grande utilidade o conhecimento dos arcos notáveis (30°, 45º e 60°) e seus correspondentes, como segue:

O eixo vertical é o eixo dos senos e o eixo horizontal é o eixo dos co-senos.

 Todos os valores nos quatro quadrantes, são derivados dos valores no primeiro quadrante, assim se desejamos encontrar um valor qualquer, basta posteriormente verificar o sinal, se é positivo ou negativo.

De 0° a 90° é o primeiro quadrante e os demais 2°, 3° e 4° quadrante respectivamente.

É de grande valia a seguinte visão: