Demonstração da derivada da função trigonométrica seno

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Demonstração de derivadas trigonométricas

Distância entre dois pontos

Observe o gráfico:

Por ‘Pitágoras’ a distancia de A a B, pode ser calculada por:

Adição e subtração de arcos

A (cos 0°, sen 0°)

A (1, 0)

P (cos a, sen a)

Q [cos (a + b), sen (a + b)]

R (cos b, - sen b)

Note no 4° quadrante sen (–b) = - sen b e que cos (-b) = cos b

cos (a + b)

Estabelecendo que d_PR = d_AQ, teremos:

Sen (a + b)

Numa circunferência temos que:

Para encontrar sen (a + b), basta usar a fórmula final em sen [a – (-b)]

E as demais aplicando as propriedades trigonométricas

 

Transformação em produto – Prostaferese  (fórmulas de Werner)

Demonstração 

Sejam a e b dois arcos.

a + b = p

a – b = q

Sabendo que:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  (A)

sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a    (B)

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b   (C)

cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b   (D)

Somando-se A e B, teremos:

sen(a + b) + sen (a - b) = 2 sen a . cos b   1

subtraindo-se A e B, teremos:

sen (a + b) - sen (a - b) = -2 sen a . cos b  2

Somando-se C e D, teremos:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2.cos a . cos b   3

Subtraindo-se C e D, teremos:

cos (a + b) - cos (a - b) = -2.sen a . sen b  4

Chamando em 1, 2, 3 e 4:

Substituindo a + b, a - b, a e b, respectivamente por p, q,e
nas identidades A, B, C e D, obtemos as fórmulas de transformação em produto.

Derivadas de funções trigonométricas

f’(x) = 

y = sen x

∴ Se y = sen x, então y’ = cos x

y = cos x

         y’ = -sen x

Número de Euler

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Logaritmos naturais

De todas as possíveis bases para os logaritmos a escolha mais conveniente para uma base é e*. Os logaritmos na base e são chamados de logaritmos naturais e têm uma notação especial:

log_e ^x = ln x

*e é o número de Euler = 2,718…

Se a = e, substituindo log_e por ln, então as propriedades que definem a função logaritmo natural ficam:

ln x = y ↔ e^y = x

ln(e^x) = x, x  IR

e^{ln x} = x, x > 0

Em particular, se fizermos x = 1, obteremos: ln 1 = 0

Razões trigonométricas de um número real

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Razão trigonométrica seno de um número real

Quando se calculamos uma razão trigonométrica de um número real (que na verdade não existe), estamos fazendo menção a unidades do raio.

Por exemplo, se calculamos:

sen 1 =  0,84…

cos 1 = 0,54…

Todos referem-se a 1 radiano.