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Aulas Particulares de Matemática em:

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Cálculo diferencial e integral

Limites, derivadas, integrais, derivada direcional e outros.

Zona Leste de São Paulo e Santo André.

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Demonstração de derivadas trigonométricas

Distância entre dois pontos

Observe o gráfico:

Por ‘Pitágoras’ a distancia de A a B, pode ser calculada por:

Adição e subtração de arcos

A (cos 0°, sen 0°)

A (1, 0)

P (cos a, sen a)

Q [cos (a + b), sen (a + b)]

R (cos b, - sen b)

Note no 4° quadrante sen (–b) = - sen b e que cos (-b) = cos b

cos (a + b)

Estabelecendo que d_PR = d_AQ, teremos:

Sen (a + b)

Numa circunferência temos que:

Para encontrar sen (a + b), basta usar a fórmula final em sen [a – (-b)]

E as demais aplicando as propriedades trigonométricas

Transformação em produto – Prostaferese (fórmulas de Werner)

Demonstração

Sejam a e b dois arcos.

a + b = p

a – b = q

Sabendo que:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a (A)

sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a   (B)

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b (C)

cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b (D)

Somando-se A e B, teremos:

sen(a + b) + sen (a - b) = 2 sen a . cos b   1

subtraindo-se A e B, teremos:

sen (a + b) - sen (a - b) = -2 sen a . cos b 2

Somando-se C e D, teremos:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2.cos a . cos b   3

Subtraindo-se C e D, teremos:

cos (a + b) - cos (a - b) = -2.sen a . sen b 4

Chamando em 1, 2, 3 e 4:

Substituindo a + b, a - b, a e b, respectivamente por p, q,e
nas identidades A, B, C e D, obtemos as fórmulas de transformação em produto.

Derivadas de funções trigonométricas

f’(x) =

y = sen x

∴ Se y = sen x, então y’ = cos x

y = cos x

y’ = -sen x