Aulas Particulares

Quero pedir descuplas a todos, por estar com muitos compromissos neste últimos dias, e não poder atender os interessados em aulas.
Mantenho o contato, para futuras oportunidades e ainda continuar publicando assuntos que tenho e que os amigos mostram interesse.

Operando em com outras bases

Operando em outras bases

Com prática as operações de adição e multiplicação tornam-se mais simples em sistemas de bases menores que 10.

Com tudo a representação de um número em base pequena  é muito extensa; Todavia os computadores, como são rápidos, não encontram problemas em operar com base pequenas como a base 2, mas operam também em bases maiores, como a base hexadecimal (16)

Base 2

Basta decompor o número, tendo 2 como base e a escrita será seus coeficientes do maior ao menor expoente.

Exemplo:

a) Escreva 25 na base dois

25 = 1. 2⁴ + 1. 2³ + 0. 2² + 0. 2¹ + 1. 2⁰

25 = 1. 16 + 1.8 + 1

25 = 11001₂

Ou podemos fazer:

Escrevemos do último quociente para o primeiro resto

25 = 11001₂

b) Escrever 10111₂ na base 10

1.2⁴ + 0. 2³ +1.2² + 1.2¹ + 1.2⁰ = 23

Base 60

Usada principalmente para ângulos e tempo.

Aqui, apenas a adições algébricas:

a) 12°40’35” + 6°30’40”

Note que nas unidades temos base dez, ou seja, chegamos até nove, mas em todas as dezenas temos como limite superior 6.

b) 10°25’52” + 12°42’15”

c) 12°32’25” – 6°25’52”

Na subtração os acréscimos das unidades devemos somar sempre 6 ao invés de 10, por esta razão, na insuficiência de 2 nas dezenas de segundos somamos 6, o que tornou a unidade de minutos em 1.

Na calculadora científica (simples) a cada grupo (graus, minutos ou segundos, selecionamos a tecla _°,,, e efetuamos os cálculos normalmente, inclusive multiplicação e divisão que possuem sentido apenas matemático.

Tratamos da mesma forma com tempo

Outras bases

No caso da simbologia da base hexadecimal são usadas algumas letras, isso ocorre porque temos símbolos para representar somente os algarismos de 0 a 9, como na base 16 é necessária a representação de algarismos de 10 a 15 então as letras de A até F são utilizadas para isso resultando na seqüência: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F.

Exemplos

a) Escreva 10111₅ na base 10

5⁴ + 5² + 5 + 1 = 625 + 25 + 5 + 1 = 656

 

b) Escrever 2008 na base 16

2008 = 8. 16² + 7 = 807

 

c) Escrever 1379 na base 16

1379 = 5. 16² + 6. 16 + 3 . 16⁰ = 563

 

Obs: escrevemos o expoente zero somente para ilustração.

Solução geométrica de um sistema

A solução de um sistema linear com até três variáveis pode ser obtido geometricamente, no ponto de intersecção das retas ou dos planos, se o sistema é compatível e determinado, bem como se é indeterminado ou inconsistente, como os exemplos que seguem:

Note aqui que não há ponto em comum às retas, portanto trata-se de um sistema inconsistente.

Nos exemplos que seguem, o graphmática não possui mais recursos para apresentação gráfica.

Evidentemente, não existem representação gráfica para número maior que três variáveis.

Circunferência trigonométrico e os arcos notáveis

Na matemática elementar é de grande utilidade o conhecimento dos arcos notáveis (30°, 45º e 60°) e seus correspondentes, como segue:

O eixo vertical é o eixo dos senos e o eixo horizontal é o eixo dos co-senos.

 Todos os valores nos quatro quadrantes, são derivados dos valores no primeiro quadrante, assim se desejamos encontrar um valor qualquer, basta posteriormente verificar o sinal, se é positivo ou negativo.

De 0° a 90° é o primeiro quadrante e os demais 2°, 3° e 4° quadrante respectivamente.

É de grande valia a seguinte visão:

Volume de um sólido sob um plano qualquer – Equação do plano

Primeiramente devemos encontrar a equação do plano.

Para encontrar a equação de um plano que passa por três pontos, precisamos determinar um vetor que seja normal ao plano.

Esse plano tem equação da forma A(x - x₀) + B(y - y₀) + C(z - z₀) = 0, onde um vetor v = Ai + Bj + Ck é normal ao plano Ax + By + Cz = D.

 Podemos dizer também que esse plano tem equação da forma: ax +by +cz + d =0, onde a, b e c são as componentes do vetor normal a esse plano.

Identificando esses pontos, como:

A(2,1,1) , B(3,-1,1) e C(4,1,-1)

Vamos calcular os vetores AB e AC:

AB = B - A = (3,-1,1) - (2,1,1) = (1,-2,0)

AC = C - A = (4,1,-1) - (2,1,1) = (2, 0,-2)

Esses dois vetores pertencem ao plano. Então um vetor que é normal ao plano é o resultado do produto vetorial de AB e AC:

Como a equação do plano tem forma: ax +by +cz + d =0, então ficará na forma:

4x + 2y + 4z + d = 0

Para encontrar o termo independente d. Para isso, basta substituir um dos pontos dados e resolver a equação. Usando o ponto C, teremos:

Substituindo C(4,1,-1)

4(x - 4) + 2(y - 1) + 4(z + 1) = 0

4x - 16 + 2y - 2 + 4z + 4 = 0

4x + 2y + 4z - 14 = 0

ou

16 + 2 - 4 + d = 0

d = -14

4x + 2y + 4z -14 = 0

Que pode ser melhorada na seguinte conformidade.

Observação: Note que o grau 1 para todas variáveis, o que acarreta em plano e que para calcular o d, poderia ser escolhido qualquer outro ponto dado. Você sempre vai encontrar d = -14.

Vimos no exemplo que antecede este, no plano que passa pelos pontos A(0, 0, 4) e B( 4, 0, 6)

Paradoxos

Paradoxos

É uma palavra usada para significar uma contradição apenas aparente, que pode ser resolvida. Mas às vezes tem o significado de uma contradição verdadeira e insolúvel, e é nesse último sentido que a empregamos aqui.

Os paradoxos surgem porque o universo do discurso é muito amplo e acaba abarcando essas contradições. O próprio conceito de conjunto, segundo Cantor (Georg), foi originariamente concebido de maneira muito livre e acabou levando o próprio Cantor a um paradoxo insuperável.

Veja este exemplo, mostrando a que nos leva o uso muito livre da linguagem: Um rei mandou dizer a um condenado que ele morreria na fogueira se as últimas palavras do condenado encerrassem uma verdade; E morreria na forca se falasse uma falsidade.

O condenado disse: “Vou morrer na forca”

Em conseqüência, o rei não pode executá-lo, nem na fogueira (se não o condenado teria dito uma falsidade), nem na forca (se não o condenado teria falado uma verdade). Esse impasse, simplesmente por que a decisão final depende algo fluido, aquilo que o condenado ainda vai falar. Isso não pode ser permitido; O Universo do discurso tem de ser devidamente restrito para não abrigar possíveis contradições ou impasses.

O paradoxo de Cantor

Aceitando a definição dada por Cantor, podemos conceber o conjunto U de todos os conjuntos. Esse conjunto U seria, por assim dizer, o conjunto universal, portanto, teria potencia máxima, já que reuniria todos os conjuntos possíveis de consideração. Em particular, ele teria de ser um elemento de si mesmo, neste caso, se considerarmos o conjunto das partes de U, P(U), somos levados, pelo próprio teorema de Cantor a concluir que P(U) > U. Ora, isto, contradiz a suposição inicial de que existe um conjunto Universal U, ou conjunto de todos os conjuntos.

Área de um círculo

Área de um circulo