Sobre raízes

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Sobre raízes

Escrevemos aqui, alguns métodos de calcular raízes de um número (N).

Este trabalho tem participação importantíssima dos Professores Nelson e Tietri.

Método de Newton

O cálculo diferencial integral é criação de Newton e ou Leibniz, o que possibilita a derivada utilizada neste método; Todavia este método já era conhecido pelos babilônios (2000 a.C) (??????)

Raízes Por logaritmos



Note que 1,301 refere-se à característica e mantissa de 20 com apenas três casas decimais, que resultou apenas numa pequena aproximação; Para este modo de operar requer conhecimento imediato da tábua de logaritmos.

Como ½ é a representação exponencial da raiz, pode ser substituído por qualquer fração, conforme a raiz desejada.


Raiz real positiva de um Número – método conhecido pelos babilônios

Seja:

Derivada Direcional - exemplo

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Derivada direcional

Determine a derivada  direcional da função f(x, y) = x²y³ - 4y, no ponto P(2, -1) Na direção v = 2i + 5j.

Calculo do gradiente

Volume de sólido de revolução

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Sólido de revolução

Considere o sólido formado pela revolução de f(x) = x²  + 1.

a) Em volta do eixo das abscissas

b) Em volta do eixo das ordenadas

Aqui o Maple se equivoca (quando feito de meneira elementar) e apresenta o volume do invólucro.

Note que mudou o intervalo para f(0) e f(2) respectivamente.

c) do invólucro ou da casca

Note que o invólucro é complementar de g(y), ou seja, é o cilindro que formaríamos de 0 a 5, menos o “cone” formado por g(y).

Note que o invólucro é complementar de g(y), ou seja, é o cilindro que formaríamos de 0 a 5, menos o “cone” formado por g(y).

Integral, uma poderosa ferramenta

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O poder de uma ferramenta

Considere a função f(x) = x² – 6 x + 5

Observe seu gráfico e calcule a integral no intervalo de 1 a 6.

Mudança da variável na integral

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Mudança de variável na integral

Com base no teorema fundamental é importante encontrar anti derivadas. Porém nossas fórmulas de antiderivação não mostram como calcular integrais do tipo:

Tópico sobre Limites

Limites

Historicamente, o conceito de limite é posterior ao de derivadas. Ele surge da necessidade de calcular limites de razões incrementais que definem derivadas.

A exclusão do ponto x = a na definição de limite é natural, pois o limite L, nada tem a ver com o valor f(a), o conceito de limite é introduzido para caracterizar o comportamento da função f(x) nas proximidades do valor de a.

Sempre que nos referimos ao limite de uma função com x → a deve-se entender que a é ponto de acumulação do domínio da função, mesmo que isso não seja explicitamente dito.

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Demonstração da derivada da função trigonométrica seno

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Demonstração de derivadas trigonométricas

Distância entre dois pontos

Observe o gráfico:

Por ‘Pitágoras’ a distancia de A a B, pode ser calculada por:

Adição e subtração de arcos

A (cos 0°, sen 0°)

A (1, 0)

P (cos a, sen a)

Q [cos (a + b), sen (a + b)]

R (cos b, - sen b)

Note no 4° quadrante sen (–b) = - sen b e que cos (-b) = cos b

cos (a + b)

Estabelecendo que d_PR = d_AQ, teremos:

Sen (a + b)

Numa circunferência temos que:

Para encontrar sen (a + b), basta usar a fórmula final em sen [a – (-b)]

E as demais aplicando as propriedades trigonométricas

 

Transformação em produto – Prostaferese  (fórmulas de Werner)

Demonstração 

Sejam a e b dois arcos.

a + b = p

a – b = q

Sabendo que:

sen (a + b) = sen a . cos b + sen b . cos a  (A)

sen (a - b) = sen a . cos b - sen b . cos a    (B)

cos (a + b) = cos a . cos b - sen a . sen b   (C)

cos (a - b) = cos a . cos b + sen a . sen b   (D)

Somando-se A e B, teremos:

sen(a + b) + sen (a - b) = 2 sen a . cos b   1

subtraindo-se A e B, teremos:

sen (a + b) - sen (a - b) = -2 sen a . cos b  2

Somando-se C e D, teremos:

cos (a + b) + cos (a - b) = 2.cos a . cos b   3

Subtraindo-se C e D, teremos:

cos (a + b) - cos (a - b) = -2.sen a . sen b  4

Chamando em 1, 2, 3 e 4:

Substituindo a + b, a - b, a e b, respectivamente por p, q,e
nas identidades A, B, C e D, obtemos as fórmulas de transformação em produto.

Derivadas de funções trigonométricas

f’(x) = 

y = sen x

∴ Se y = sen x, então y’ = cos x

y = cos x

         y’ = -sen x

Número de Euler

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Logaritmos naturais

De todas as possíveis bases para os logaritmos a escolha mais conveniente para uma base é e*. Os logaritmos na base e são chamados de logaritmos naturais e têm uma notação especial:

log_e ^x = ln x

*e é o número de Euler = 2,718…

Se a = e, substituindo log_e por ln, então as propriedades que definem a função logaritmo natural ficam:

ln x = y ↔ e^y = x

ln(e^x) = x, x  IR

e^{ln x} = x, x > 0

Em particular, se fizermos x = 1, obteremos: ln 1 = 0